Relations vectorielles dans un parallélogramme

Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\) et \(M\) un point quelconque du plan.

1. Vérifions que \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\) :

   Puisque \(ABCD\) est un parallélogramme, alors \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), donc \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{DC}\).

   D'où : \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\).

2. Montrons que \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\) :

   \[\begin{aligned} \text{On a : ~~} \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} &= (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}) \\ &= \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD} + (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}) \\ &= \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD} \end{aligned}\]

3. Déduisons que \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) :

   En prenant \(M=A\) dans l'égalité précédente, on obtient : \(\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)

   Donc : \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)

Montrons que \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\) :

Puisque \(O\) est le centre du parallélogramme \(ABCD\), \(O\) est le milieu commun des diagonales \([AC]\) et \([BD]\)

Donc : \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\) et \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)

D'où : \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} = (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}) = \overrightarrow{0}\).