Cours de calcul vectoriel · TCS

Exemple

Soit \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) quatre points. On pose : \(\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{BA} - 6\overrightarrow{BC}\)

Montrons que les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires :

\[\text{On a :} \qquad \qquad \overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{BA} - 6\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BA} - 6(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) \quad \text{(relation Chasles)} = 2\overrightarrow{BA} - 6\overrightarrow{BA} - 6\overrightarrow{AC} = 4\overrightarrow{AB} - 6\overrightarrow{AC} = 2(\underbrace{2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}}_{\overrightarrow{u}})\]

Donc : \(\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{u}\), ceci signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.

Exemple

Soit \(ABC\) un triangle et soient \(I\) et \(J\) les milieux respectifs de \([AB]\) et \([AC]\).

Montrons que : \(\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{IJ}\)

Puisque \(I\) est le milieu de \([AB]\), on a \(\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{IA}\). De même, \(J\) étant le milieu de \([AC]\), on a \(\overrightarrow{JC} = \overrightarrow{AJ}\).

On a :

\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{JC} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{IJ} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ}) = \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{IJ}\]

D'où le résultat : \(\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{IJ}\)

Dans le triangle ABC, les milieux I et J conduisent à la relation \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{IJ}.

Calcul vectoriel

Égalité de deux vecteurs

Somme de deux vecteurs

Multiplication d'un vecteur par un nombre réel

Colinéarité de deux vecteurs

Milieu d'un segment